Calcul de la radiation solaire

Le rayonnement solaire reçu par les panneaux photovoltaïques est un des paramètres cruciaux de ce jeu. Source de la vie sur Terre, le Soleil est également le carburant de l'avion. Nous présentons ici le détail du calcul de l'énergie reçue.

Au sommet de l'atmosphère

La valeur moyenne de la radiation solaire au sommet de l'atmosphère, quand le Soleil se trouve au zénith, vaut $$ I_0 = 1367 W/m^2 $$ Cette intensité est sujette à des cycles journaliers et annuels.

Variations annuelles

Deux causes principales provoquent les variations annuelles: l'excentricité de l'orbite terrestre et la déclinaison. Premièrement il faut prendre en compte que l'orbite terrestre autour du Soleil n'est pas exactement circulaire, mais elliptique, d'une excentricité de \( \epsilon=0,017 \).

La Terre se trouve au périhélie (le point le plus proche) du Soleil (\(\odot\)) autour du 4 janvier. (Une date que nous considérons comme constante. En réalité Milutin Milanković a montré que cette distance minimale varie selon des périodes de 95'000 125'000 et 413'000 années.) On appelle la déclinaison, l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre avec l'écliptique, qui est le plan dans lequel la Terre tourne autour du soleil. Cet angle, qui vaut \(23^\circ\), change la quantité d'énergie reçue le long de l'année et fournit l'explication des saisons.

Pour tenir compte de ces deux effets, introduisons \(n\), le jour de l'an. Exemples: le 15 janvier, \(n=15\); le 15 février, \(n=46\); le 15 mars, \(n=84\) les années bissextiles et \(n=83\) les autres années. Selon des considérations géométriques, le rayonnement solaire diminue proportionnellement à \(\frac{1}{R^2}\), où \(R\) est la distance Terre-Soleil. En définissant \(R_{mean}\) la distance moyenne de la Terre au Soleil, et \(R(n)\) cette distance au jour \(n\) de l'année, le rayonnement solaire devient: $$ I = I_0 \cdot \left(\frac{R_{mean}}{R(n)}\right)^2 $$ En posant encore \(n_{rad}\), le jour de l'an en radians: $$ n_{rad} = 2 \cdot \pi \cdot \frac{n}{365} $$ on peut tenir compte de l'excentricité, par la paramétrisation suivante: $$ \begin{eqnarray*} \left(\frac{R_{mean}}{R(n_{rad})}\right)^2 &=& 1.00011 + \\ &&0.034221 \cdot \cos(n_{rad}) + \\ &&0.001280 \cdot \sin(n_{rad}) + \\ &&0.000719 \cdot \cos(2 \cdot n_{rad}) + \\ &&0.000077 \cdot \sin(2 \cdot n_{rad}) \end{eqnarray*} $$ Le jour de l'année, \(n\), permet également de tenir compte de la déclination terrestre pour calculer l'angle sous lequel les rayons solaires atteignent la Terre pour le jour \(n\): $$ \delta_{\odot} = -23.44 \cdot \cos\left(\frac{360}{365} \cdot (n + 10)\cdot\frac{\pi}{180}\right)$$

Variations journalières

Jusqu'ici, nous avons considéré que le Soleil se trouvait au Zenith. Ce qui n'est vrai qu'un instant par jour. L'équation du temps, qui donne la différence entre l'heure solaire apparente et l'heure moyenne du Soleil, permet de calculer un temps qui est le même pour tout observateur sur Terre. En reprenant notre jour de l'an \(n\), on peut écrire cette équation du temps: $$ \begin{eqnarray*} eq\_time &=& -14.2 \cdot \sin(\pi * (n + 7.) / 111.) & \mathrm{pour}& n <= 106 \\ eq\_time &=& 4.0 \cdot \sin(\pi * (n - 106.) / 59 ) & \mathrm{pour}& n <= 166 \\ eq\_time &=& -6.5 \cdot \sin(\pi * (n - 166.) / 80.) & \mathrm{pour}& n <= 246 \\ eq\_time &=& 16.4 \cdot \sin(\pi * (n - 247.) / 113.) & \mathrm{pour}& n > 246 \end{eqnarray*} $$ Ce qui conduit au temps solaire universel: $$ solar\_time = HH + \frac{eq\_time + min}{60} + \frac{lon}{15} $$ où \(HH\) et \(min\) sont sont l'heure et les minutes respectivement et \(lon\) représente la longitude en degrés. L'heure exprimée en radians devient: $$ hour\_angle = \pi \cdot \frac{12 - solar\_time}{12} $$ Ainsi, on peut calculer l'angle zénithal \(Z\) du soleil: $$ \cos(Z) = \sin(lat) * \sin(\delta_{\odot}) + \cos(lat) \cdot \cos(\delta_{\odot}) \cdot \cos(hour\_angle) $$ Ce qui délivre le rayonnement solaire “au sommet” de l'atmosphère, à savoir la position du Soleil dans le ciel: $$ solar\_radiation = I_0 \cdot \left( \frac{R_{mean}}{R(n_{rad})} \right)^2 \cdot \cos(Z) $$

La radiation actuelle

On trouve la radiation solaire actuelle au sommet de l'atmosphère pour toute la planète Terre (le résultat des calculs décrits ci-dessus) ici.

L'absorption atmosphérique

Il existe plusieurs phénomènes physiques réduisant le rayonnement lors de sa traversée de notre atrmosphère: la dispersion, les diffusions de Mie et de Rayleigh, l'absorption et la réflexion. Pour tenir compte de ces différentes atténuations de la radiance solaire, introduisons les constantes: Air Mass, \(AM=38\) et la hauteur au-dessus du sol, qui contient environ \(1/e\) de la masse de l'atmosphère, \(scale\_height=7000\,m\) qui permettent de calculer la radiation solaire en tenant compte de l'extinction atmosphérique pour une altitude donnée

Si \(\mathrm{abs}(\cos(Z)) <= \frac{1}{AM}\), alors $$ fact = AM \cdot e^{- \left(\frac{altitude}{scale\_height}\right) } $$ sinon, (à savoir \(\mathrm{abs}(\cos(Z)) > \frac{1}{AM}\) ) $$ fact = \frac{1}{\cos(Z)} \cdot e^{ -\left( \frac{altitude}{scale\_height} \right) } $$ On obtient finalement la radiation solaire nette en fonction de l'altitude: $$ solarRadiation = solar\_radiation \cdot ( 0.7 )^{(fact)^{(0.678)}} $$

L'absorption par les nuages

Le model global du NCEP (cf. la documentation sur la météorologie) délivre des prévisions météorologiques pour trois "étages" de l'atmosphère. On a défini ici la couche basse, comprise entre \(0\) et \(Z_1=2500\,m\) qui comporte \(CCl\) nuages [%], la couche moyenne, comprise entre \(Z_1=2500\,m\) et \(Z_2=7000\,m\) qui comporte \(CCm\) nuages [%] et finalement la couche haute, comprise entre \(Z_2\) et \(Z_3=10'000\,m\) qui comporte \(CCm\) nuages [%]. On suppose donc qu'il n'y a plus de nuages au dessus de \(10'000\,m\). On obtient ainsi la couverture nuageuse \(CC\) pour une \(altitude\) donnée, en interpolant linéairement le long des trois étages:
pour la couche haute, donc \(altitude > 7000\,\)m: $$ CC = CCh \cdot \left(1 - \frac{altitude-Z_2}{Z_3-Z_2}\right) $$ pour la couche moyenne, \(2500\,m < altitude < 7000\,\)m: $$ CC = CCh + CCm \cdot \left(1-\frac{altitude-Z_1}{Z_2-Z_1}\right) $$ et pour la couche basse, \(altitude < 2500\,\)m: $$ CC = (CCh + CCm ) + CCl \cdot \left(1 - \frac{altitude}{Z_1}\right). $$ En posant \(\delta CC=0.6\), l'absorption du rayonnment pour une couverture nuageuse de \(100\,\%\), on obtient la fraction de la radiation solaire absorbée: $$ I_{absorbed} = \frac{CC}{100 \cdot \delta CC}, $$ qui permet de calculer finalement la radiation solaire nette \(I_{netto}\): $$ \boxed{I_{netto} = solarRadiation \cdot (1 - I_{absorbed})} \\ $$

Omissions

Outre les simplifications mentionnées, soulignons ici qu'on a négligé l'angle d'incidence sur les ailes, qu'on assume donc toujours en position parfaitement horizontale (en accord avec le modèle ).

Sources

  1. Université d'Orégon: Solar Radiation Basics
  2. 2011: Calcul du rayonnement solaire atténué par l’atmosphère, Beckers, B. et Beckers, P., pdf.
  3. 2009: A simple model for cloud radiative forcing, Corti, T. and Peter, T., Atmos. Chem. Phys. Discuss., 9, 8541-8560, doi:10.5194/acpd-9-8541-2009, ACPD.
  4. 2005: Cloud Effects on the Radiation Budget based on SSCCP Data (1991 to 1995), E. Raschke, et al., Int. J. Climatol., 25: 1103-1125, doi:10.1002/joc.1157, On line.
  5. 1974: A Parameterization for the Absorption of Solar Radiation in the Earth's Atmosphere, Lacis, A. A. and Hansen, J. E., J. Atmos. Sci., 31: 118-133, pdf.
  6. 1995: The variable effect of clouds on atmospheric absorption of solar radiation, Li, Z., Barker, H. W. and Moreau, L., Nature, 376, 486 - 490, doi:10.1038/376486a0, pdf.
  7. Wikipedia: Déclinaison
  8. Wikipedia: Equation du temps
  9. Wikipedia: Position du soleil
  10. Wikipedia: Masse d'air

Le module photovoltaïque

Maintenant que nous savons quelle énergie reçoivent les cellules photovoltaïques, \(I_{netto}\), examinons comment celle-ci est est transformée en électricité, stockée dans les batteries et utilisée pour alimenter les moteurs des hélices de l'avion.

Chaque transfert et chaque transformation d'énergie le long de cette chaîne est associée à des pertes.

Rendement des panneaux solaires\(\eta_1=\)\(15\,\%\)
Rendement à l'entrée des batteries\(\eta_2=\)\(45\,\%\)
Courant d'obscurité\(I_D=\)\(0,01\,\%\) de la charge de la batterie
Rendement à la sortie des batteries\(\eta_3=\)\(95\,\%\)
Consommation permanente\(I_3=\)\(10\,W\)
Rendement des moteurs\(\eta_4=\)\(95\,\%\)
Pour une énergie fournie par les panneaux solaires de \(I_1=1000\,\), l'énergie incidente sur les panneaux solaires est transformée en électricité selon un rendement \(\eta_1\). $$E_{stockée}\,[J]=I_{netto} * \eta_1 * Surf_{panneaux} * \eta_2 * \Delta t$$

Sources

  1. 2010: Performance assessment of a simulation model for PV modules of any available technology Mermoud, A. and Lejeune, T. 25th European Photovoltaic Solar Energy Conference - Valencia, Spain, 5-10 Sept. 2010, pdf.

Aéronautique





Sources




  1. 1949: C. D. Perkins and R. E. Hage: Airplane Performance Stability and Control, John Wiley & Sons, Inc, New York.
  2. 1999: F. Irving: The Paths of Soaring Flight, Imperial College Press.
  3. 2004: R. R. Stengel: Flight Dynamics, Princeton University Press.
  4. 2001: S. H. Koekebakker: Model Based Control of a Flight Simulator Motion System, ISBN 90-370-0194-7, pdf.
  5. 1995: G. J. Hancock: An Introduction to the Flight Dynamics of Rigid Aeroplanes, Prentice Hall.
  6. 2007: A. Tewari: Atmospheric and Space Flight Dynamics, Birkhäuser, Basel.
  7. 1998: M. J. Abzug: Computational flight Dynamics, American Institute of Aeronautics and Astronautics, Education Series, Reston, Virginia.
  8. 2007: M. V. Cook: Flight Dynamics Principles, Elsevier Ltd.
  9. 2003: A Flight Dynamics Model for a Small Glider in Ambient Winds S. C. Beeler, D. D. Moerder and David E. Cox, NASA/TM-2003-212665. pdf.
  10. 2011: J. D. Anderson Jr.: Introduction to Flight, 7th edition, McGraw-Hill International Edition.